2023-10-29随笔

数学练习题

第一题

计算不定积分：
$$
\int{x^3}·\ln{x}·\mathrm{d}x
$$
解：
根据分部积分法有：
$$
\begin{aligned}
u·v &= \int{u·\mathrm{d}v} + \int{v·\mathrm{d}u}\\
&= \int{u·\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} · \mathrm{d}x} + \int{v·\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}·\mathrm{d}x} \\
\end{aligned}
$$
其中$u$和$v$是两个以$x$为自变量，且在定义域内有连续导数的函数。
令$u=\frac{1}{4}x^4$，$v=\ln{x}$，则有:
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} &= x^3\\
\mathrm{d}u &= x^3\mathrm{d}x\\
v·\mathrm{d}u &= \ln{x}·x^3\mathrm{d}x\
\end{aligned}
$$
则有：$\displaystyle \int{v·\mathrm{d}u}$与原积分表达式吻合。故而有：
$$
\begin{aligned}
\int{x^3·\ln{x}·\mathrm{d}x} &= u·v - \int{u·\mathrm{d}v}\\
&= u·v - \int{u·\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}·\mathrm{d}x}\\
&= \frac{1}{4}x^4 · \ln{x} - \int{\frac{1}{4}x^4 · \frac{1}{x} · \mathrm{d}x}\\
&= \frac{1}{4}x^4 · \ln{x} - \int{\frac{1}{4}x^3 · \mathrm{d}x}\\
&= \frac{1}{4}x^4 · \ln{x} - \frac{1}{16}x^4 + C
\end{aligned}
$$
其中$C$为常数。

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第二题

计算不定积分：
$$
\int{x·\cos(6x)·\mathrm{d}x}
$$
解：
同样采用分部积分法，令:
$$
\begin{cases}
u = x\
v = \frac{1}{6}·\sin(6x)
\end{cases}
$$
有：
$$
\int{u·\mathrm{d}v} = \int{x·\cos(6x)·\mathrm{d}x}
$$
则：
$$
\begin{aligned}
\int{x·\cos(6x)·\mathrm{d}x} &= u·v - \int{\frac{1}{6}·\sin(6x)·\mathrm{d}x}\\
&= \frac{1}{6}x·\sin(6x) + \frac{1}{36}\cos(6x) + C
\end{aligned}
$$

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第三题

计算不定积分：
$$
\int \arctan{(\sqrt{x})}·\mathrm{d}x\\
$$
解：
令：
$$
\begin{cases}
u &= x\\
v &= \arctan{(\sqrt{x})}
\end{cases}
$$
则：
$$
\begin{aligned}
\int \arctan{(\sqrt{x})}·\mathrm{d}x &= u·v - \int u·\mathrm{d}v\\
&= x·\arctan{(\sqrt{x})} - \int \frac{x}{2\sqrt{x}·(1+x)}\mathrm{d}x\\
&= x·\arctan{(\sqrt{x})} - \int \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}\mathrm{d}x
\end{aligned}
$$
针对积分式：
$$
\int \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}\mathrm{d}x
$$
令：$\displaystyle u=\sqrt{x}$，则有：
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
\Rightarrow \quad \mathrm{d}x &= 2\sqrt{x}·\mathrm{d}u
\end{aligned}
$$
则：
$$
\begin{aligned}
\int \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}\mathrm{d}x &= \int \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}·2\sqrt{x}·\mathrm{d}u\\
&= \int \frac{x}{1+x}·\mathrm{d}u\\
&= \int \frac{x+1-1}{1+x}·\mathrm{d}u\\
&= \int (1 - \frac{1}{1+x})·\mathrm{d}u\\
&= \int \mathrm{d}u - \int \frac{1}{1+x}·\mathrm{d}u\\
&= \int \mathrm{d}u - \int \frac{1}{1+u^2}·\mathrm{d}u\\
&= u - \arctan{u} + C_{1}\\
&= \sqrt{x} - \arctan{\sqrt{x}} + C_1\\
\end{aligned}
$$
则最初的原积分式：
$$
\begin{aligned}
\int \arctan{\sqrt{x}}·\mathrm{d}x &= x·\arctan{\sqrt{x}} - \sqrt{x} + \arctan{\sqrt{x}} + C\\
&= (x+1)\arctan{\sqrt{x}} - \sqrt{x} + C
\end{aligned}
$$
其中$C$和$C_1$是常数，之所以用下标区分它们只是为了体现它们不是同一个常数，毕竟前面的正负号没有在计算过程中变号。